Apja a második világháborúban pilótaként szolgált, és kétszer kapta meg a Szovjetunió Hőse kitüntetést, katonai pályafutását a szovjet légvédelmi erők főparancsnok-helyetteseként fejezte be, anyja tanítónő volt. Lányukat nem nevelték szigorúan, s amikor kiderült, hogy a tizenhat éves Szvetlana titokban ejtőernyős ugrásokat végzett, támogatták célja elérésében, ami nem egyéb volt, mint a világűr meghódítása. A lány egy év alatt csaknem 450 sikeres ugrást hajtott végre, és tizenhét évesen lehetőséget kapott arra, hogy a sztratoszférából, akkor világcsúcsnak számító 14 250 méter magasságból ugorhasson ki, és hajmeresztő zuhanórepülés után csak 500 méteren nyitotta ki ernyőjét.
A Moszkvai Repülési Intézetet 1972-ben végezte el, közben 1971-ben a szovjet csapat tagjaként első helyezést ért el a műrepülő-világbajnokságon. A szovjet Honvédelmi Szövetség pilótaoktatója lett, majd 1976-ra tesztpilóta képesítést szerzett, MiG-21 és MiG-25-ös vadászgépekkel négy világcsúcsot állított fel, gyorsasági világcsúcsa 2683 kilométer/óra volt. 1978-tól a Jakovlev tervezőiroda berepülő pilótájaként húsznál is több típust repült.
Miután az amerikai űrkutatási hivatal, a NASA bejelentette, hogy női űrhajóst akar az űrbe küldeni, Valentyin Glusko, a szovjet űrprogram egyik vezetője egy hasonló szovjet program elindítását javasolta a pártvezetésnek. (A világűrben első nőként a szovjet Valentyina Tyereskova járt 1963-ban, az ő sikeres küldetése után egy kizárólag női személyzettel véghezvitt űrrepülést is terveztek, de ebből nem lett semmi.) Leonyid Brezsnyev pártfőtitkárnak tetszett az ötlet, ezért 1979-ben elindították a kiválasztási folyamatot, s 1980. július 30-án hét jelölt kiképzése kezdődött meg, köztük volt Szavickaja is.
1981 decemberében született meg a döntés, hogy Szavickaja - Alekszandr Szerebrov és Leonyid Popov társaságában - a Szaljut-7 űrállomásra induló Szojuz T-7 űrhajó személyzetének tagja lesz. A kilövésre 1982. augusztus 19-én került sor, Szavickaja személyében csaknem két évtized után járt ismét nő a világűrben. (A szovjetek ezzel újabb sikert könyvelhettek el az űrversenyben, mert az első amerikai űrhajósnő, Sally Ride csak egy évvel később, 1983 júniusában indult útnak a kozmoszba.) Az egyhetes út során Szavickajának a Szojuz egyik moduljában külön fülkét biztosítottak, de a többiekkel együtt az űrállomáson aludt. Az űrállomás személyzete virággal fogadta, ami nem csupán udvarias gesztus volt, hanem egy tudományos kísérlet része, a súlytalanság állapotában először termést hozó növények egyikét nyújtották át neki. Szavickaja augusztus 27-én a korábban dokkolt Szojuz T-5 fedélzetén tért vissza a Földre társaival.
Második űrutazására két év múlva, 1984 júliusában került sor. A küldetésre 1983 végén jelölték ki, amikor a NASA bejelentette, hogy Kathy Sullivan személyében ismét nőt küld a világűrbe, aki űrsétát is fog tenni, de a szovjetek ezen a téren is a magukénak akarták az elsőséget. Szavickaja a Szojuz T-12 űrhajóval 1984. július 17-én indult a Szaljut-7 űrállomásra Vlagyimir Dzsanibekov és Igor Volk társaságában. Dzsanibekovval július 25-én léptek ki a az űrállomásról a kozmoszba, ahol 3 órát és 35 percet töltöttek egy különleges, több célra kifejlesztett munkaeszköz tesztelésével, Szavickaja személyében első alkalommal hajtott végre nő űrsétát. Az az űrbéli tevékenység - a "séta" névre rácáfolva - egyáltalán nem könnyű és veszélytelen, az asztronauták ilyenkor többnyire javítási, szerelési feladatokat végeznek, a "járművön kívüli misszió" (angol kezdőbetűi alapján EVA) rendkívüli technológiai és emberi teljesítmény. A három űrhajós 11 nap múlva, július 29-én a Szojuz T-12 fedélzetén tért vissza a Földre.
Felmerült a lehetőség, hogy Szavickaja egy csakis nőkből álló személyzettel harmadszor is a világűrbe indul, de a küldetést technikai nehézségek, majd terhessége miatt egyre halasztották, s végül lekerült a napirendről. A világ második női űrhajósa a két küldetés során összesen 19 napot, 17 órát és 6 percet töltött a kozmoszban.
Szavickaja a szovjet, majd orosz légierő kötelékében 1993-ig szolgált, és őrnagyi rangban vonult vissza. 1986-ban kandidátusi címet szerzett a moszkvai műszaki egyetemen, az 1990-es évek közepe óta tanít a Moszkvai Repülési Intézetben. Férje repülőmérnök, fiuk 1986-ban született. A hithű kommunista Szavickaja 1989-ben politikai pályára lépett, a Szovjetunió Kommunista Pártjának színeiben választották meg a Szovjetunió első és utolsó elnöke, Mihail Gorbacsov által összehívott, a Szovjetunió 1991-es felbomlásáig működő Népi Küldöttek Kongresszusába. 1996 óta az orosz parlament, az Állami Duma kommunista képviselője, jelenleg a Duma védelmi bizottságának alelnöke. Szavickaja az űrkutatás eredményeihez való hozzájárulásáért kétszer kapta meg a Szovjetunió Hőse és a Lenin-rend kitüntetéseket, nevét viseli a 4118-as számú aszteroida. A szocsi téli olimpiai játékok megnyitó ünnepségén, 2014. február 7-én az orosz lobogót négy orosz űrhajós vonta fel, egyikük ő volt.
